Forças Conservativas e Não-Conservativas

Considere uma força $\vec{F}$ atuando sobre um corpo. A força é dita conservativa se o trabalho realizado por ela não depende do caminho percorrido, mas somente das posições inicial $A$ e final do corpo $B$ .

Para os caminhos 1 e 2 acima, temos

$W_{A\to B, 1} = \W_{A \to B, 2}$

Se invertermos o sentido do caminho 2 percorrido, mantendo a mesma força, temos que o sinal do trabalho muda:

$W_{A \to B, 2} = -W_{B \to A, 2}$

ou seja,

$W_{A\to B, 1} = - W_{B \to A, 2} \quad \Rightarrow \quad W_{A\to B, 1} + W_{B \to A, 2} =0$

Mas a soma à direita representa o trabalho do percurso total, ida e volta. É um caminho fechado, onde o corpo parte de um ponto $A$ e chega num ponto $B$ através do caminho 1 e volta para $A$ pelo caminho 2:

O resultado mostra que para uma força ser classificada como conservativa, o trabalho realizado por ela, sobre um corpo, é nulo para um caminho fechado (o corpo volta para o mesmo ponto de partida). A condição acima é necessária, mas não é o suficiente.

Vamos mostrar a seguir que o trabalho da força magnética, por exemplo,é nulo. No entanto, esta força é não-conservativa.

A força magnética surge quando um corpo carregado com carga se move em uma região com campo magnético. Se o corpo de carga elétrica $q$ e velocidade $\vec{v}$ adentrar uma região do espaço com campo magnético $\vec{B}$ , ele sentirá uma força magnética cuja intensidade é dada por

$|\vec{F}|=| q| | \vec{v}| | \vec{B}| \:\textrm{sen}\,\phi$

onde $\phi$ é o ângulo formado pelos vetores velocidade e campo magnético. A direção da força é perpendicular tanto à velocidade como ao campo magnético e o sentido é dado pela regra da mão direita, ilustrada na figura abaixo à direita; quatro dedos da mão direita fazem o movimento de $\vec{v}$ para $\vec{B}$ e o polegar dá a direção de $\vec{F}$ .

Em notação vetorial mais avançada, a fórmula se resume a

$\vec{F} = q \vec{v} \times \vec{B}$

onde $\vec{v} \times \vec{B}$ denota o produto vetorial entre os vetores velocidade e campo magnético.

Como a velocidade instantânea é paralela ao vetor deslocamento, temos que a força magnética atuando num corpo é sempre perpendicular ao seu deslocamento. Logo, como não haverá componente de $\vec{F}$ na direção do movimento, temos a seguinte conclusão:

O trabalho realizado pela força magnética é sempre nulo.

Existe uma condição mais forte (necessária e suficiente) que uma força conservativa deve obedecer, mas a discussão envolve um conhecimento de Cálculo Vetorial, uma ferramenta imprescindível no estudo da Física e engenharia, mas bastante avançada para o nível deste site. Deixamos um link para curiosos ou quem quiser se aprofundar no assunto.

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Trabalho de forças conservativas – exemplos

Como por definição o trabalho de forças conservativas não dependem de caminho, por simplicidade, vamos considerar uma trajetória unidimensional para os exemplos a seguir – o corpo se move em linha reta, a qual chamaremos de eixo $x$ . Neste caso, evidentemente o caminho de ida é igual ao caminho de volta.

Trabalho da força gravitacional (próximo à superfície da Terra)

Próximo à superfície da Terra, a força gravitacional (ou força peso) sobre um corpo de massa $m$ é dada por $\vec{F}_g = m\vec{g}$ , onde $\vec{g}$ é o campo gravitacional produzido pela Terra. Próximo à sua superfície, $g$ possui valor constante aproximado de 9,8 m/s $^2$ . Se soltarmos qualquer objeto e desprezar a resistência do ar, ela cairá com aceleração de módulo igual a $g$ .

Vamos calcular o trabalho da força gravitacional sobre o corpo descendo uma rampa e mostrar explicitamente que ele não depende do comprimento da rampa, mas somente da altura $h$ da posição inicial $A$ em relação à posição final $B$ , conforme mostra a figura abaixo:

Conforme mostra a figura acima, a força gravitacional $\vec{F}_g$ e o vetor deslocamento $\Delta \vec{s}$ formam um ângulo $\theta$ . A componente de $\vec{F}_g$ na direção do deslocamento é $mg\cos\theta$ .

Como $mg\cos\theta$ é constante ao longo da rampa, podemos usar a fórmula do trabalho para uma força constante:

$W_{A\to B} = (F_g \cos\theta) \Delta s = (mg)\Delta s \cos \theta$

Por outro lado, a rampa forma a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem a altura $h$ como sendo um dos seus catetos. Como $h$ é cateto adjacente em relação ao ângulo $\theta$ , temos que

$\cos\theta = \frac{\textrm{cateto adjacente}}{\textrm{hipotenusa}} = \frac{h}{\Delta s}$

Substituindo $\cos\theta$ na equação do trabalho, obtemos

$W_{A \to B} = mg \Delta s \frac{h}{\Delta s} \quad \Rightarrow \quad W_{A \to B} = mgh$

Se ao invés de descer pela rampa, se o corpo fizer uma trajetória vertical de $A$ até $B'$ e depois uma trajetória horizontal de $B'$ para $B$ , teremos

$W_{A \to B' \to C} = W_{A\to B'} + W_{B'\to B} = (mg) h + 0$

onde o segundo termo é zero porque a força gravitacional é perpendicular ao deslocamento horizontal. Logo,

$W_{A\to B} = W_{ A\to B'\to C}$

conforme esperado para uma força conservativa.

Podemos generalizar o resultado para qualquer caminho de $A$ para $B$ , como o caminho ondulado acima da rampa. Para isto, basta dividirmos a trajetória em pequenos trechos verticais e horizontais. Os trechos horizontais dão trabalho nulo e a soma dos trechos verticais dá $W_{A\to B} = mgh$ .

Não é difícil mostrar que o trabalho de subida, de $B$ até $A$ é $W_{B \to A} = -mgh$ , de forma que o trabalho do trajeto fechado (descida + subida) é zero, como deveria ser.

Trabalho da força gravitacional – caso geral

Próximo à superfície da Terra, um corpo de massa $m$ é atraído à Terra pela força gravitacional $\vec{F}_g = m\vec{g}$ . Esta força é um caso particular da força responsável pela atração entre corpos, postulada por Newton através da Lei da Gravitação Universal, a qual diz que

Um corpo atrai outro corpo com uma força que é proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional à distância que separa os seus centros de massa.

Como os corpos se atraem mutualmente, a força está na direção que conecta os seus centros de massa e o seu módulo é

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

onde $m_1$ e $m_2$ são as massas dos corpos, $r$ é a distância que separa os seus centros de massa e $G$ a constante gravitacional universal, cujo valor aceito atualmente é

$G = 6,\!67408 \times 10^{-11}\textrm{ m}^3 \textrm{kg}^{-1} \textrm{s}^{-2}$

Como o próprio nome diz, essa constante é universal; não importa se trata da queda de uma maçã, um satélite que é mantido na órbita da Terra, a atração gravitacional que o Sol exerce sobre a Terra, etc.

A força de gravitação universal de Newton é uma das forças fundamentais da Natureza e obedece a terceira lei de Newton, ou seja,

$\vec{F}_{g, 12} + \vec{F}_{g, 21} = 0$

Para calcular o trabalho realizado pela força gravitacional, vamos manter o corpo 1 fixo e deslocar somente o corpo 2. Inicialmente, estão separados por uma distância $r_i$ e após o deslocamento, passam a estar separados por uma distância $r_f$ , conforme mostra a figura abaixo.

Como o trabalho da força gravitacional não depende do caminho, vamos escolher o caminho 2, constituido dos trechos $i \to f'$ e $f' \to f$ . No segundo trecho, a força é perpendicular ao deslocamento, portanto o trabalho não é nulo. Temos portanto que

$W_{g, i \to f} = \int_{r_i}^{r_f} F(r) dr = (-G m_1 m_2)\int_{r_i}^{r_f} \frac{1}{r^2} dr$

O sinal negativo na força é porque quando o corpo 2 vai se afastando ( $r$ aumenta), a força sobre ele aponta no sentido contrário ao do deslocamento.

Um curso introdutório de Cálculo é o suficiente para entender que $\int dr /r^2 = -1/r$ . Substituindo os limites da integral,

$W_{g, i \to f} = G m_1 m_2 \left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$

Trabalho da força elástica

O trabalho da força elástica já foi calculada na página “Trabalho e Energia Cinética“. Iremos agora só mostrar que o trabalho dessa força respeita a condição necessária para o trabalho de uma força conservativa.

Recordando que a força elástica é dada por $F = -kx$ , o trabalho realizado por essa força atuando num corpo, de $x_i$ até $x_f$ , é dado por

$W_{i\to f} = -\frac{1}{2} k x_f^2 + \frac{1}{2} k x_i^2$

onde $x_i$ como $x_f$ podem ser tanto deformação quanto elongação da mola. Se fizermos a troca $i \leftrightarrow f$ , temos que $W_{f \to i} = - \tau_{i\to f}$ e portanto o trabalho total ida e volta dá zero.

A simulação a seguir permite verificar que para um percurso de ida e volta, as deformações são iguais e as contribuições de trabalho positivo e negativo se cancelam, pois tem a mesma intensidade mas sinais opostos devido ao sentido da deformação e da força.

Trabalho de força não conservativa – a força de atrito

Trabalho da força de atrito

A força de atrito cinético atuando sobre um corpo de massa $m$ deslizando sobre uma superfície rugosa é dada por

$f_c = \mu_c N$

onde $N$ é a força normal. Por simplicidade, vamos analisar o movimento do corpo andando em linha reta, horizontal à superfície da Terra. Neste caso, $N= mg$ , e observamos que a força de atrito sempre tem o sentido contrário do movimento. A força $\vec{F}$ puxando o bloco não influencia em nada o cálculo do trabalho da força de atrito.

Novamente, como o módulo da força de atrito é constante, o cálculo do trabalho é simples. Observa-se, no entanto, que o sentido da força de atrito é sempre contrário ao do deslocamento. Com isto,

$W_\textrm{total} = (-\mu_c mg)\Delta x_\textrm{ida} + (\mu_c mg) \Delta x_\textrm{volta}$

Se o corpo percorrer uma distância $d$ entre as posições $A$ e $B$ , temos que $\Delta x_\textrm{ida} = x_B-x_A = d = - \Delta x_\textrm{volta}$ . Logo,