Conservação do Momento Linear Relativístico

Até o momento estão trabalhando na mecânica clássica em que as velocidades dos corpos são muito menores que a velocidade da luz. Então o que acontece com as leis de conservação se a velocidade dos corpos forem próximas à velocidade da luz, como por exemplo a velocidade do elétron que corresponde a $0,75c$ da velocidade da luz ou estiverem em referenciais diferentes?

Para responder essa pergunta devemos avançar na relatividade especial de Einstein, na qual contém conceitos referentes a equação de transformação de Lorentz que podem ser encontradas no site Relatividade Restrita.

As leis da Física dever permanecer inalteradas sob qualquer transformação da equação de Lorentz, então é preciso generalizar as leis de Newton e a definição de momento linear para se adaptarem ao princípio da relatividade.

Iremos considerar $c$ para a velocidade da luz, $u$ para a velocidade da partícula e $v$ para a velocidade do referencial. Temos que $v\ll c$ e $u\ll c$ , ou seja nenhuma velocidade será maior que a velocidade da luz.

Vamos considerar um modelo (sistema isolado) de duas partículas que colidem em um referencial $S$ , no qual o momento linear é conservado. Temos então que o momento antes da colisão é igual ao momento depois da colisão.

Em um outro referencial $S'$ , no qual aplicamos a equação de transformação de Lorentz, o momento $p\vec {u}m$ não é conservado. Esse resultado viola um dos postulados de Einstein:

As leis da Física são as mesmas para todos referenciais inerciais

Considerando que a equação de transformação de Lorentz está correta, a definição de momento deverá ser reescrita em função da velocidade relativística e termos assim uma equação relativística para o momento de uma partícula de massa $m$ que mantém o princípio da conservação.

$\vec{p}=\frac{m\vec{u}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}};$

Quando $u$ for menor que $c$ temos que a razão $\frac{u^2}{c^2}$ tende a zero e que o denominado se aproxima de $1$ , fazendo com que o momento relativístico se aproxime do momento clássico.

Usando a equação de momento relativístico podemos reescrever a força como:

$\vec {F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$

A equação preserva a conservação do momento linear quando $\sum\vec {F_{ext}}=0$ tanto na mecânica clássica quanto na relativística em que $\frac{u}{c}$ tende a zero.

A seguir iremos fazer a demonstração da conservação do momento

Colisão das partículas $a$ e $b$ , de mesma massa , no referencial $S$ ’. Vamos definir o referencial $S'$ como aquele em que o momento total seja nulo.

$m\vec {v_{a}}'^{antes}+m\vec {v_{b}}'^{antes}=m\vec {v_{a}}'^{depois}+m\vec {v_{b}}'^{depois}$

Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades

podemos escrever as componentes das velocidades no referencial $S$ , que se move em relação a $S'$ com velocidade constante, $-v$ , ao longo do eixo x

A figura mostra que as velocidades das partículas no eixo x não mudam antes e depois da colisão, o sentido da coordenada de $x$ para a partícula $a$ é para a direita antes e depois e o o sentido da coordenada de $x$ para a partícula $b$ é para a esquerda antes e depois. No entanto quando analisamos a coordenada $y$ verificamos uma inversão de sentidos, a partícula $a$ possuía sentido para cima antes da colisão e após sentido para baixo e o oposto ocorre com a partícula $b$ .

Analisando o eixo x temos as velocidades antes e depois da colisão

Partícula $a$
${v_{ax}}^{antes}=\frac{{v_{x}}^{'}+v}{1+\frac{{v_{x}}^{'}v}{c^{2}}};{v_{ax}}^{depois}=\frac{{v_{x}}^{'}+v}{1+\frac{{v_{x}}^{'}v}{c^{2}}}$
Partícula $b$

${v_{bx}}^{antes}=\frac{{-v_{x}}^{'}+v}{1-\frac{{v_{x}}^{'}v}{c^{2}}};{v_{bx}}^{depois}=\frac{{-v_{x}}^{'}+v}{1-\frac{{v_{x}}^{'}v}{c^{2}}}$

Analisando o eixo y temos:

Partícula $a$

${v_{ay}}^{antes}=\frac{\sqrt{1-\beta ^{2}}{v_{y}}^{'}}{1+\frac{{v_{x}}^{'}v}{c^{2}}};{v_{ay}}^{depois}=\frac{-\sqrt{1-\beta ^{2}}{v_{y}}^{'}}{1+\frac{{v_{x}}^{'}v}{c^{2}}}$

Partícula $b$
${v_{by}}^{antes}=\frac{-\sqrt{1-\beta ^{2}}{v_{y}}^{'}}{1-\frac{{v_{x}}^{'}v}{c^{2}}};{v_{by}}^{depois}=\frac{\sqrt{1-\beta ^{2}}{v_{y}}^{'}}{1-\frac{{v_{x}}^{'}v}{c^{2}}}$

Analisando o momento em cada eixo temos:

eixo x

$mv_{ax}^{antes}+mv_{bx}^{antes}=mv_{ax}^{depois}+mv_{bx}^{depois}$

eixo y

$mv_{ay}^{antes}+mv_{by}^{antes}\neq mv_{ay}^{depois}+mv_{by}^{depois}$

As equações acima mostram que o momento total não foi conservado, ou seja, não ocorre conservação de momento linear. Mas, pode – se mostrar que o momento total será uma quantidade conservada se definirmos o momento usando o fator de Lorentz:

$\vec{p}=\gamma m_{0}\vec {v}=\frac{m_{0}\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}};$