Objetos Extensos em Movimento de Rotação

Na seção anterior, discutimos a conservação do momento angular em diversas situações. Em todas elas, o sistema envolvia a rotação de objetos/corpos extensos, como uma bailarina rodopiando, um homem girando sentado na cadeira e segurando uma roda de bicicleta, etc.

Em todos eles, nós conseguimos compreender os fenômenos envolvidos, de forma qualitativa, à luz da lei da conservação do momento angular. Em nenhum momento questionamos qual deveria ser a velocidade da bailarina quando recua os membros. Só dizemos que a sua velocidade de rotação aumenta.

Se queremos fazer uma análise quantitativa, é fato que precisamos determinar o momento de inércia de um corpo extenso.

Sabemos que para uma partícula de massa $m$ executando um movimento circular de raio $r$ em torno de um eixo fixo é

$I = m r^2$

Considere agora a rotação de um objeto extenso formado por $N$ partículas, de massa $m_i$ cada. Se o objeto é rígido, obviamente as massas estão fixas entre si, assim como as distâncias $r_i$ ‘s até o eixo de rotação.

Neste caso, o momento de inércia do objeto é simplesmente a soma dos momentos de inércia de cada partícula

$I = \sum_i^N m_i r_i^2$

A adaptação para um objeto extenso e contínuo segue imediatamente da expressão acima. Deixamos o link abaixo para quem tiver o interesse em calcular o momento de inércia para esse tipo de objeto.

Clique aqui para o cálculo do momento de inércia de um corpo contínio.

O link abaixo fornece o momento de inércia para vários formatos de objetos.

Momento de inércia de vários objetos

Uma coisa importante para se observar é que o valor do momento de inércia depende do eixo o qual o objeto está girando. De fato, a partir da definição do momento de inércia, dá para se concluir qualitativamente que quanto maior a distância das massas em relação ao eixo de rotação, maior é o momento de inércia. É o que ocorre, por exemplo, quando seguramos os halteres com os braços abertos, que é maior do que quando fechamos os braços.

Por exemplo, o momento de inércia de uma barra fina de massa $m$ e comprimento $L$ é $mL^2/12$ em relação ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa da barra e é perpendicular a ela. Se o eixo estiver localizado numa extremidade da barra e continuar perpendicular a ela, o momento de inércia passa a ser $mL^2/3$ .

Observamos que

$I = I_{cm} + m L^2$

onde $L$ no segundo termo à direita corresponde, além do comprimento da barra, à distância entre os eixos. Veremos que esse resultado é geral, dado pelo teorema dos eixos paralelos, o qual afirma que

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer paralelo ao eixo principal, que passa pelo centro de massa do objeto, é igual à soma do momento de inércia em relação a esse eixo principal, dado por $I_{cm}$ , com $mh^{2}$ , onde $h$ é a distância entre os eixos.