Energia Potencial

Na seção “Trabalho e Forças Conservativas”, discutimos o que são forças conservativas. Por outro lado, devemos lembrar que o trabalho é a transferência de energia realizada por uma força ou conjunto de forças que agem num corpo.

Quando se tem o trabalho de uma força resultante, mostramos o teorema do trabalho-energia cinética:

$W_r = \Delta K$

A pergunta natural que se faz é a seguinte: para onde vai a energia quando o trabalho é negativo (corpo perde energia)?. Similarmente, de onde vem a energia quando o trabalho é positivo (corpo ganha energia)?

A animação abaixo mostra a oscilação de um pêndulo simples.

Embora existe a força de tração do fio (caso contrário estaria em queda livre!), podemos concentrar na força gravitacional (força peso) agindo sobre a massa pendurada pelo fio. Claramente a energia cinética da massa varia com a posição do pêndulo. Por outro lado, já vimos que o trabalho da força gravitacional transfere energia para a massa na descida e retira energia na subida. Afinal, de onde vem e para onde vai essa energia transferida?

Como resposta, a energia transferida pelo trabalho é armazenada no sistema (no caso do pêndulo, o sistema é formado pelo pêndulo em si e a Terra, responsável por gerar a força gravitacional). Esta energia é chamada de energia potencial. A sua variação – energia potencial final menos a inicial, é definida como sendo

$\Delta U= U_f - U_i = -W$

Como $U$ só depende das posições inicial e final, é importante enfatizar que a energia potencial só é definida em termos do trabalho de forças conservativas.

A força de atrito, por exemplo, é uma força não-conservativa, como vimos. Logo, não faz sentido algum definir uma “energia potencial de atrito”.

Temos assim que, por definição,

A variação da energia potencial é o negativo do trabalho realizado por uma força conservativa.

Para recordar, no caso unidimensional com força variável, temos:

$\Delta U= U_f - U_i = -W=-\int_{x_i}^{x_f}Fdx$

onde $x_i$ é a posição inicial do corpo, quando a energia potencial do sistema é $U_i$ e $x_f$ a posição final, quando a energia potencial é $U_f$ , ou seja,

$U_i = U(x_i) \quad \textrm{ e } \quad U_f = U(x_f)$

Em princípio, existe uma função matemática $U=U(x)$ , mas somente a sua variação tem significado físico. Logo, podemos definir a energia potencial a menos de um valor numérico constante. Na prática, isso quer dizer que podemos escolher $U=0$ para algum valor de referência de $x$ , de acordo com a nossa conveniência.

A seguir, vamos calcular a energia potencial associada a forças conservativas mais recorrentes na Física. Como para algumas forças conservativas nós já calculamos o trabalho, não vamos repetir novamente os cálculos.

Energia potencial gravitacional – próxima à superfície da Terra

Na seção Trabalho e Forças Conservativas, mostramos que para a situação abaixo, o trabalho da força gravitacional de $A$ até $B$ é

$W_{A \to B} = mgh$

Fazendo a posição $A$ como sendo a inicial e $B$ a final e tomando um eixo vertical $y$ positivo para cima, a energia potencial gravitacional é dada por

$\Delta U = U_f - U_i = W_{i \to f} = -mg(y_f-y_i)$

Vamos tomar como a origem da coordenada ( $y=0=y_f$ ) a base do triângulo, onde se encontram os pontos $B'$ e $B$ . Se assumirmos que nesse ponto a energia potencial é zero ( $U_f=0$ ), temos que para uma altura $y_i = y$ , a energia potencial gravitacional será

$U = U(y) = mgy$

Quanto maior a altura ( $y$ maior), maior será energia potencial do sistema Terra-corpo. É claro que $y$ tem limitação, pois estamos assumindo aqui que $F_g = mg$ , onde $g$ é constante. Para alturas não desprezíveis em relação ao raio da Terra, temos que usar a energia potencial gravitacional calculada a partir da força gravitacional de Newton, que é o exemplo a seguir.

Energia potencial gravitacional – caso geral

Conforme visto na seção Trabalho e Forças Conservativas, o trabalho da força gravitacional quando um corpo 2, de massa $m_2$ , se desloca de distância $r_i$ para $r_f$ em relação a um corpo 1, de massa $m_1$ , é

$W_{g, i \to f} = -G m_1 m_2 \left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$

Portanto,

$\Delta U = U_f - U_i = -W_{g, i\to f} = - G m_1 m_2 \left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$

Neste caso, é conveniente tomar $U_f=0$ para $r_f \to \infty$ , ou seja, os dois corpos estão separados por uma distância tendendo a infinito. Fazendo $U_i = U(r)$ para $r_i =r$ , obtemos

$U(r) = -G \frac{m_1 m_2}{r}$

Energia potencial gravitacional – discussões

Antes de ir para mais um exemplo de energia potencial, convém confrontarmos os diferentes resultados da energia potencial gravitacional:

$U = mg y \qquad \textit{versus} \qquad U = -G \frac{m_1 m_2}{r}$

Vamos mostrar mais adiante que a equação à esquerda é um caso particular da equação à direita. Isto não é surpresa alguma, se entendermos a relação entre as forças relacionadas às duas energias potenciais:

$F = mg \qquad \textit{versus} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$

Vamos considerar a equação à direita acima para um caso particular em que o corpo 1 é a Terra, de massa $m_1=M_T$ , e o corpo 2 a maçã, de massa $m_2=m$ . Se a maçã estiver a uma altura $y$ em relação à superfície da Terra, temos que

$r = R_T + y$

onde $R_T$ é o raio da Terra.

Em módulo, a força gravitacional que atrai a maçã para a Terra é dada por

$F_g = G \frac{M_T m}{(R_T + y)^2} = \frac{G M_T m}{R_T^2} \frac{1}{(1+y/R_T)^2}$

Na segunda igualdade, apenas colocamos em evidência $R_T$ no denominador. Observamos que podemos fazer uma expansão binomial com expoente negativo para $1/(1+y/R_T)^2$ . Para um inteiro positivo $n$ ,

$\frac{1}{(1+x)^n} = 1-nx+\frac{1}{2}n(n+1)x^2 - \ldots$

Na situação que estamos tratando, $y$ deve ser muito menor do que $R_T$ (ou $y \ll R_T$ , na linguagem matemática). Por exemplo, se $y$ for da ordem de 1 km de altura, como a Terra possui um raio médio aproximado de 6370 km, temos que $y/R_T =0,\!00016$ , que evidentemente é muito menor do que 1. Logo, só vamos manter o primeiro termo na expansão binomial, que é 1. Portanto,

$F_g = \frac{GM_T}{R_T^2} m = g m$

onde $g = GM_T/R_T^2 \approx 9,8$ m/s $^2$ é o módulo do campo gravitacional produzido pela Terra, próximo a sua superfície ( $y \ll R_T$ ).

Vamos agora mostrar que $U = -G m_1 m_2/r$ é equivalente a $mgy$ próximo à superfície da Terra. Temos que na posição onde se encontra a maçã na figura acima, o potencial é

$U_g = - G M_T m \frac{1}{R_T + y} = -G \frac{M_T m}{R_T}\frac{1}{1+y/R_T}$

Vamos novamente usar a fórmula da expansão binomial, agora com expoente $-1$ e mantermos os dois primeiros termos:

$U_g = -G \frac{M_T m}{R_T}\left( 1-\frac{y}{R_T}\right) = -\frac{GM_Tm}{R_T} + \frac{GM_T}{R_T^2} m y$

O primeiro termo é apenas uma constante. Lembrando que podemos escolher o zero da energia potencial gravitacional, observamos que só o segundo termo é importante (por isto, mantivemos dois termos na expansão). Mas no segundo termo, já havíamos identificado $G M_T/R_T^2$ como sendo $g$ , logo a demonstração se completa.

Energia Potencial Eletrostática

Para falarmos sobre a energia potencial eletrostática, temos que apresentar primeiro a força eletrostática, que é dada pela lei de Coulomb, que trata da força mútua entre dois objetos carregados eletricamente.

De acordo com a lei de Coulomb,

A magnitude da força eletrostática de atração ou repulsão entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das magnitudes das carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Assim como ocorre na lei da gravitação universal, a lei de Coulomb descreve uma força conservativa e fundamental a Natureza que é inversamente proporcional ao quadrado da distância. A diferença principal é que enquanto só há massas de um “tipo”, cargas elétricas possuem dois tipos: as positivas e as negativas. Com isto, embora a direção da força eletrostática não dependa dos tipos de carga, o sentido depende:

Cargas do mesmo sinal se repelem e de sinais contrários se atraem. O módulo da força é dado por

$F_e = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

onde $r$ é a distância entre as cargas puntiformes $q_1$ e $q_2$ . A constante, para as duas cargas no vácuo (válido também com boa aproximação para o ar) é

$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 8,\!9875 \times 10^9 \;\textrm{N}\: \textrm{m}^2\: \textrm{C}^{-2$

quando as cargas $q_1$ e $q_2$ devem ser dadas em unidades de coulomb (C).

Similarmente às forças gravitacionais entre dois corpos, as forças eletrostáticas também formam um par ação-reação, ou seja,

$\vec{F}_{e, 12} + \vec{F}_{e, 21} = 0$

Como a fórmula matemática da força eletrostática é similar à da força de gravitação universal, não há necessidade de repetirmos todo o cálculo novamente para encontrar a energia potencial eletrostática. Vamos utilizar o resultado encontrado para a força gravitacional e fazer as adequações. Em especial, atente que no cálculo da trabalho da força eletrostática não há um sinal “ $-$ ” colocado explicitamente no caso da força gravitacional, visto que cargas iguais se repelem, enquanto massas sempre se atraem. Temos portanto que

$U_f - U_i = -W_{i \to f} = + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} q_1 q_2 \left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$

Novamente, podemos escolher um valor de referência em que a energia potencial é zero. É conveniente fazermos $U_i=0$ para $r_i \to \infty$ . Tirando o subíndice “ $f$ ” de $U_f$ e $r_f$ , temos

$U = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q_1 q_2}{r}$

Energia potencial elástica

Assim como o caso da força gravitacional universal, nós já calculamos o trabalho da força elástica da mola, que se trata também de uma força conservativa. Logo, podemos associar a ela e ao corpo a energia potencial elástica.

$\Delta U= U_{f}-U_{i} =-W_{i\to f} = -\left(-\frac{1}{2}kx_f^2+\frac{1}{2}k x_i^2\right)$

O ponto de referência usual é tomar o zero da energia potencial quando a mola está relaxada, ou seja, para $x_i=0$ , $U_i=0$ . Novamente, suprimindo o subíndice “ $f$ “, obtemos a energia potencial elástica da mola: