Ao observarmos um equilibrista andando em uma corda, percebemos que ele abre os braços para melhorar o equilíbrio ou faz uso de uma vara para diminuir sua tendência de giro dificultando sua rotação de queda.

Uma bailarina quando inicia seu giro nas pontas dos pés está com os braços abertos, porém quando fecha os braços sua velocidade de rotação aumenta.

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O aumento ou diminuição da velocidade está relacionada com a distribuição da massa em rotação, ou seja, alterando a inércia de rotação do que está girando.

Assim quanto mais distribuída estiver a massa mais difícil será atingir certa velocidade de rotação submetida ao mesmo agente externo. Essa dificuldade de inércia de rotação é denominada momento de inércia.

O momento de inércia de um objeto em relação a um eixo é a propriedade do objeto que o faz resistir a uma variação em sua velocidade vetorial angular em relação ao eixo.

O momento de inércia varia não só de um objeto para outro, como também para um mesmo objeto, dependendo do eixo de rotação. A expressão matemática que permite o cálculo do momento de inércia $I$ de um objeto simples é:

$I=mr^{2}$

onde $m$ é a massa em quilograma e $r$ é a distância do objeto até o eixo de rotação em metros.

Cálculo do Momento de Inércia

Clique aqui para abrir a demostração.

Para objetos mais complexos as expressões para o cálculo do momento de inércia está no link abaixo.

Fórmulas

Vídeo: Momento de inércia

O teorema dos eixos paralelos

Se conhecermos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer que passe pelo seu centro de massa, poderemos determinar o momento de inércia desse corpo em relação a qualquer outro eixo paralelo ao primeiro.

$I= I_{cm}+Mh^{2}$

em que $M$ é a massa do corpo e $h$ a distância perpendicular entre os eixos.

O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia que ele teria em relação a esse eixo $Mh^{2}$ , se toda a sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa mais o seu momento de inércia em relação a um eixo paralelo passando pelo centro de massa $I_{cm}$ .

Demonstração do teorema dos eixos paralelos

Clique aqui para abrir a demostração.

Momento de Inércia e Energia Cinética

Já vimos anteriormente que um corpo possui energia cinética, quando este está em movimento de translação. Mas como a energia cinética aparece no movimento de rotação?

Imagine a uma usina eólica em que sua hélice gira em torno de um eixo. Com certeza ela está em movimento e consequentemente possui energia cinética.

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Outro exemplo que podemos citar é o movimento de rotação de engrenagens que fazem parte da estrutura física de máquinas. Essas engrenagens giram em torno de um eixo e possuem energia cinética.

Então como podemos expressar a energia cinética? Não podemos usar a fórmula $K=m\frac{v^2}{2}$ diretamente, pois ela é aplicável apenas para partículas e não para as variáveis de $m$ e $v$ , já que sabemos que nem todas as partículas que formam o corpo rígido estão a mesma distância do eixo de rotação, pois a velocidade linear de cada partícula depende da sua distância em relação ao eixo como mostra a equação $v=\frac{2\pi r}{T}=\omega r$ .

Para resolver esse problema iremos considerar qualquer corpo rígido como sendo um conjunto de partículas com diferentes massas e velocidades. A soma das energias cinéticas de todas as partículas é a energia cinética total do corpo. Assim podemos escrever a energia cinética cinética de rotação como:

$K=\frac{1}{2}m_{1}(v_{1})^2+\frac{1}{2}m_{2}(v_{2})^2+...=\sum \frac{1}{2}m_{i}(v_{i})^2$

onde $m_{i}$ é a massa iésima partícula e $v_{i}$ a sua velocidade. A soma relaciona todas as partículas que compõem o corpo.

Como a velocidade $v_{i}$ não é a mesma para todas as partículas, o problema é resolvido substituindo $v$ por $v=\omega r$ , já que a velocidade angular $\omega$ é a mesma para todas as partículas.

$K=\sum \frac{1}{2}m_{i}(\omega r_{i})^2=\frac{1}{2}(\sum m_{i}(r_{i})^2)\omega ^2$

Analisando a equação podemos identificar o momento de inércia $I=\sum m_{i}(r_{i})^2$ . Assim podemos escrever a energia cinética em função do momento de inércia:

$K=\frac{1}{2}I\omega ^2$

A equação permite calcular a energia cinética de um corpo rígido em rotação pura, é a equivalente angular da fórmula $K=\frac {1}{2}m(v_{cm})^2$ que é a energia cinética de um corpo rígido em translação. Nas equações a massa $m$ é chamada de inércia de translação e $I$ inércia de rotação, as duas equações possuem o termo $\frac{1}{2}$ e as velocidades estão ao quadrado. As energias cinéticas de translação e rotação são diferentes tipos de energias, porém ambas estão relacionadas com o movimento do corpo.

Trabalho

Em Trabalho e Energia Cinética, vimos o conceito de trabalho e sua relação com a energia cinética e agora vamos trazer esses conceito para o movimento de rotação.

Para diferenciar o trabalho do torque, nesta seção usaremos $W$ para trabalho e $\tau$ para torque.

No movimento de translação temos que o trabalho era determinado pela integral da força aplicada multiplicada pelo deslocamento do corpo gerado na direção da força.

$W=\int_{s_i}^{s_f}Fds$

Fazendo a correspondência com o movimento de translação e rotação temos que o corresponde da força $F$ é o torque $\tau$ , assim podemos escrever o trabalho de um corpo girando em torno de um eixo como: